Beschreibung

20. yüzyıl matematiksel mantık tarihinin en önemli olayı Kurt Gödel'in matematiðin temelleri hakkında kanıtladıðı teoremlerdir. Kesinlik, tutarlılık, tamlık gibi niteliklerin matematiðe yüklenmesinin en önemli nedeni, matematiðin aksiyomlardan türetilen 'doðru' önermelerinin, yani teoremlerin kesin olarak kanıtlanabilir olmasıydı. Böylece 'doðruluk' ve kanıtlanabilirlik örtüþtürülüyordu. Matematiðin teoremlerinin doðru iseler doðrulukları kesinlikle kanıtlanabilen, doðru deðilseler yine doðru olmadıkları kesin olarak kanıtlanabilen önermeler oldukları, dolayısıyla matematikte kesinlik ve tutarlılıðın tam olarak egemen olduðu kabul edilmiþti. Gödel bu kabullerin ve beklentilerin sanıldıðı gibi saðlam olmadıðını yine matematikten yola çıkarak kesin olarak kanıtlamıþtır. Whitehead ve Russell'ın matematiðin mantıksal temelleri konusundaki anıtsal çalıþması olan Principia Mathematica'yı ele alarak, temellerin hep eksik kalacaðını göstermiþtir. Gödel, doðal sayılar aritmetiðini kapsayan bir biçimsel dizgede, karar verilemeyen önermeler olduðunu kanıtlamıþtır; yani bu önermeler ne kanıtlanabilirler ne de bunların biçimsel deðillemeleri kanıtlanabilir. Ama öte yandan, bu karar verilemeyen önermelerin doðru oldukları üst-matematiksel akıl yürütmelerle gösterilebilir. Ayrıca Gödel, doðal sayılar aritmetiðini kapsayan bir biçimsel dizgenin tutarlılıðının, bu dizgenin içinde kanıtlanamayacaðını da kanıtlamıþtır. Gödel'in çalıþmalarının sonuçları matematiðin kendi içsel sınırlılıkları olduðunu ortaya koymuþtur.

'Hiç kuþku yok ki, benim ortaya çıkardıðım çalıþma bir yanıyla, Nagel ve Newman'ın kitabından kaynaklanmıþtır.'
–Douglas R. Hofstadter, Gödel, Escher, Bach'ın yazarı

‘Gödel'in kanıtlaması üzerine yazılmıþ en iyi kitap.' –Scientific American

'Olaðanüstü bir yorumlama.' –Nature K